Resumen:
Wang Hong, ganador de la Medalla Fields 2026, obtuvo el máximo honor en matemáticas con la prueba de la conjetura del conjunto tridimensional de Kaketani. Este problema geométrico que abarcó un siglo ha logrado en sus manos un salto histórico de dos dimensiones a tres dimensiones, y se ha convertido en el avance matemático más significativo de la última década.
Apenas tres meses después, OpenAI dio un gran paso adelante en esta investigación: no solo resolvió la más difícil conjetura de la función máxima de Kakeya tridimensional, sino que también demostró por primera vez que la dimensión de Hausdorff del conjunto de Kakeya de cuatro dimensiones es igual a 4, elevando una dimensión el mejor récord anterior de humanos estancados en 3.059 dimensiones, alcanzando el límite superior teórico.
Sin embargo, esto es solo la punta del iceberg en el desafío de OpenAI al mundo matemático.
Esta vez, OpenAI publicó 722 manuscritos matemáticos de una sola vez, clasificados en 372 familias de resultados, cubriendo áreas mucho más allá del problema de Kakeya, incluida la hipótesis cuasi-Riemann, el décimo problema de Hilbert, los problemas catalanes relacionados con las constantes y docenas de otros problemas clásicos que han preocupado a la comunidad académica durante muchos años. Todos los contenidos derivan de un modelo interno que ni siquiera ha sido nombrado. Cada problema toma un promedio de sólo 3 horas.
OpenAI publicó estos manuscritos en GitHub y, a las 24 horas de estar en línea, recibió 10 000 estrellas.
La Asociación para las Matemáticas Humanas dijo: "Los matemáticos no pidieron a OpenAI que hiciera este trabajo". También afirmó que estos manuscritos carecían de verificación y eran simplemente otro "marketing de resultados" de OpenAI.
¿Qué es exactamente el Manuscrito No. 074?
El origen del problema de Kakeya es una pregunta planteada por el matemático japonés Soichi Kaketani en 1917: Supongamos que tienes una aguja delgada, la colocas sobre una superficie plana y la giras en un círculo (o deja que apunte en todas direcciones). ¿Cuál es el área más pequeña que puede barrer la aguja?
Intuitivamente hablando, la aguja tiene una longitud, por lo que debe barrer un disco cuando gira una vez, ¿verdad?
Ese no es el caso. Más tarde, el matemático Besikovich demostró que siempre que el método de rotación sea lo suficientemente "inteligente", el área barrida por la aguja puede ser arbitrariamente pequeña, incluso más pequeña que cualquier número positivo que usted especifique.
Sobre esta base, los matemáticos construyeron un conjunto con "área cero" que todavía contiene segmentos de línea en cada dirección. Este tipo de conjunto se denomina "conjunto de Besicovitch" o "conjunto de Kaketani".
Dado que el área puede ser tan pequeña como 0, ¿no termina este problema? Pero no.
Porque "el área es cero" sólo significa que este conjunto no tiene espesor y no ocupa espacio, pero no puede expresar lo "complejo" que es.
El área matemática de una línea y de una bola de líneas pueden ser ambas 0, pero obviamente las dos no son lo mismo.
Entonces los matemáticos cambiaron su forma de pensar. Aunque este conjunto no tiene área, ¿es como una línea o una superficie, o está más cerca de un objeto sólido? Entonces hay "dimensiones".
Una línea es unidimensional, una hoja de papel es bidimensional y una caja es tridimensional. Pero para algunos conjuntos particularmente "escasos", la dimensión puede incluso ser un decimal, como 2,5 dimensiones.
La "dimensión de Hausdorff" es una de las reglas más utilizadas. Su lógica es utilizar bolitas muy pequeñas para cubrir un conjunto. ¿Cuántas bolas se necesitan? Si el radio de la esfera se reduce a la mitad y el número de esferas requeridas se duplica, entonces el conjunto es unidimensional, como una línea; si se cuadriplica, es bidimensional, como un plano; si es ocho veces, es tridimensional, como un cuerpo sólido. En el medio está la dimensión decimal.
En el plano bidimensional, los matemáticos demostraron ya en 1971 que cualquier conjunto que contenga segmentos de recta en todas las direcciones debe tener una dimensión de 2, incluso si su área es 0.
¿Qué pasa con el espacio tridimensional? ¿Qué pasa con la cuarta dimensión? ¿Qué pasa con las dimensiones superiores? Los matemáticos adivinan: en un espacio de n dimensiones, siempre que un conjunto contenga segmentos de línea de longitud unitaria en todas las direcciones, su dimensión de Hausdorff debe ser igual a n, incluso si su volumen es 0. Esta es la famosa "Conjetura del conjunto de Kakeya".
En 2026, Wang Hong ganó la medalla Fields. El motivo oficial del premio fue su importante progreso en el problema del límite de Fourier y el problema tridimensional de Kakeya. La más fundamental y conocida de ellas es la conjetura del conjunto tridimensional de Kakeya mencionada anteriormente.
Los dos problemas que OpenAI resolvió esta vez son las "versiones potenciadas" de Wang Hong.
La primera es la conjetura de la función máxima tridimensional de Kakeya.
El "máximo" en el nombre se refiere a la práctica de "elegir el valor máximo".
Supongamos que hay una niebla en el espacio con densidad desigual. Toma una pajita fina y chúpala en diferentes posiciones. La concentración media de la niebla contenida en la pajita será diferente.
Pruebe todas las interpolaciones posibles en esta dirección y registre solo la que tenga la mayor concentración. Este "valor más alto" es el "valor máximo" en esta dirección.
Cambie la dirección nuevamente, repita lo mismo y obtenga otro "valor más alto". Al recopilar los valores más altos en todas las direcciones, se obtiene una relación correspondiente entre "dirección y valor más alto". Los matemáticos la llaman "función máxima de Kakeya".
La segunda es la conjetura de la dimensión de Hausdorff de cuatro dimensiones, es decir, mover la conclusión anterior de tres dimensiones a cuatro dimensiones.
La dimensión de Kakeya establecida en un espacio de cuatro dimensiones debe ser 4. El mejor resultado actual de los humanos en cuatro dimensiones es 3.059 obtenido utilizando la demostración "planebrush" en 2021. En otras palabras, solo se puede demostrar que tiene al menos 3.059 dimensiones. De 3.059 a 4, equivale a un aumento directo en una dimensión.
De bidimensional a tridimensional, la dificultad del problema es casi un "cambio cualitativo"; De tres dimensiones a cuatro dimensiones, también es un cambio cualitativo. Porque cuanto mayor es la dimensionalidad, más formas pueden cruzarse y apilarse esos "tubos", y más situaciones geométricas complejas deben afrontar los matemáticos.
Por lo tanto, si los matemáticos completaran estas dos conjeturas ellos mismos, les llevaría al menos varios años.
Sin embargo, según la propia declaración de OpenAI, todo el proceso es bastante "simple".
Utilice un modelo interno inédito y una palabra de aviso, y deje que un agente lo ejecute. En promedio, cada resultado solo consume alrededor de 3 horas de poder de pensamiento de ChatGPT Pro.
Durante todo el proceso de evaluación, se incluyeron alrededor de 4000 preguntas en el modelo. Después de fusionarlos y examinarlos, quedaron los 722 manuscritos actuales.
¿OpenAI supera la medalla Fields?
Si las pajitas no se apilan mucho, entonces el área total que ocupan será naturalmente insignificante. Por lo tanto, una vez establecida la conjetura de la función máxima, la versión establecida de la conjetura se puede derivar directamente.
Por lo tanto, algunos internautas dijeron que a AI le tomó sólo tres horas superar la Medalla Fields. Sin embargo, esto es en realidad una especie de prejuicio. No solo desprecia la Medalla Fields, sino que tampoco comprende los resultados de la investigación de Wang Hong.
Porque el argumento de OpenAI no comienza desde cero. La familia de resultados No. 074 indicó claramente que se basó en los resultados de la investigación de Wang Hong y no surgió de la nada.
Esto también está en línea con la norma de la investigación matemática. Casi todos los avances importantes en la historia de la humanidad descansan sobre los hombros de sus predecesores, y la prueba misma de Wang Hong también se basa en su trabajo anterior sobre los "conjuntos pegajosos de Kakeya" y los resultados de muchos matemáticos en los últimos treinta años.
Lo que es más coincidente es que ya en marzo de 2025, el matemático del MIT Larry Guth predijo en una entrevista que pasar de dos dimensiones a tres dimensiones es el paso más difícil, y que es probable que la prueba de Wang Hong se transforme y se utilice para problemas de dimensiones superiores.
Entonces, si la conclusión de cuatro dimensiones de OpenAI es cierta, en cierto sentido, también está validando el juicio del matemático en aquel entonces.
¿Cómo debemos entender la frase "más que la Medalla Fields"?
En primer lugar, la Medalla Fields recompensa a un matemático por su contribución general, no solo por un solo artículo. Es solo que en la Medalla Fields otorgada a Wang Hong, la conjetura del conjunto tridimensional de Kaketani es de hecho el resultado central.
En segundo lugar, si el manuscrito número 074 de OpenAI es cierto, entonces en términos de la dimensión única de la "dificultad" matemática, es de hecho más difícil que la pregunta por la que Wang Hong ganó el premio: porque la versión de función máxima tridimensional contiene la versión establecida, y el problema de la dimensión de Hausdorff de cuatro dimensiones es un objetivo ulterior de la humanidad después de las tres dimensiones que nunca antes se ha resuelto.
Pero hay una palabra clave en esta oración, y es "si".
El Manuscrito No. 074 actualmente no tiene prueba formal de Lean y no ha sido revisado por pares. Hasta que se verifique, es simplemente "un documento que pretende resolver un problema más difícil" en lugar de "un problema más difícil que ha sido probado". En la historia de las matemáticas hay muchas “pruebas” que han sido anunciadas y luego retiradas.
En la actualidad, todavía estamos estancados en la palabra "si".
La Medalla Fields de Wang Hong, después de meses de pruebas y revisiones por parte de toda la comunidad académica, ahora se ha convertido en la piedra angular de este campo. Independientemente de si el manuscrito de OpenAI finalmente se establece o no, su punto de partida es inseparable de esta piedra angular.
La verificación es la más difícil
La verdadera dificultad es la verificación. El proceso de verificación de las matemáticas es uno de los aspectos más laboriosos de toda la investigación matemática.
Tomemos a Wang Hong como ejemplo.
En febrero de 2025, publicó la prueba de la conjetura del conjunto tridimensional de Kakeya en el sitio web académico de preimpresión arXiv, que tiene aproximadamente 127 páginas.
Una vez publicado el documento, no se reconoce inmediatamente como "correcto". El artículo ha sido objeto de repetidos autoexámenes por parte del autor y de extensos análisis por parte de eruditos de renombre como Terence Tao. La revista Quanta la calificó como una prueba "única en un siglo".
El trabajo de verificación duró desde febrero de 2025 hasta el anuncio de la Medalla Fields en julio de 2026, lo que llevó casi un año y medio. Incluso hoy en día, muchos matemáticos no han absorbido ni digerido completamente las nuevas ideas contenidas en este conjunto de demostraciones.
Esto significa que una prueba de más de 100 páginas escrita por un destacado matemático humano tendrá que pasar por una revisión colectiva durante más de un año antes de que sea ampliamente reconocida.
Ahora, han llegado 722 artículos a la vez.
No sólo eso, muchos de los 722 manuscritos publicados por OpenAI son largos argumentos de cientos de páginas. Si cada artículo requiere que un experto lo lea durante varios meses, es posible que sólo haya unas pocas docenas de expertos en el mundo que puedan entender uno de los artículos, o incluso menos.
Además, cada uno de estos expertos tiene su propia investigación y es imposible dejar todo el trabajo entre manos para "actuar como revisor" de OpenAI.
Lo que es más problemático es que un portavoz de OpenAI admitió que los propios matemáticos de OpenAI no comprenden completamente muchos de estos resultados, incluido el manuscrito número 074 mencionado anteriormente.
Por eso las reacciones de la comunidad matemática son más escépticas.
Este tipo de preocupación no es nueva hoy en día.
El 8 de septiembre de 2026, OpenAI anunció que su modelo interno había resuelto el problema del milenio de la ecuación de Navier-Stokes. Se dijo que se utilizaron alrededor de 10.000 agentes para cálculos paralelos.
Sin embargo, el matemático de la Universidad de Brown, Gómez-Serrano, mencionó en una conferencia en Harvard que la prueba relevante de 166 páginas es "incomprensible".
El 11 de septiembre, 25 ganadores de la Medalla Fields (incluido Terence Teru y otros) emitieron conjuntamente una declaración pública "El grave error de la inteligencia artificial en las matemáticas", criticando a las empresas de inteligencia artificial por utilizar "superar problemas famosos" como herramienta de marketing para demostrar las capacidades del modelo y lanzarlo apresuradamente. No sólo no promovió el desarrollo de las matemáticas, sino que también tuvo un impacto negativo en la comunidad matemática.
El 21 de septiembre, OpenAI anunció el establecimiento de un grupo asesor independiente compuesto por matemáticos (AGMAI, ubicado en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton). El 29 de septiembre, el grupo asesor declaró que al publicar los resultados matemáticos generados por la IA, también divulgará el modelo utilizado, las palabras clave específicas y el tiempo de cálculo.
Pero entre los 722 manuscritos publicados por OpenAI esta vez, sólo se anunciaron cifras generales como el "tiempo de cálculo promedio". No se anunciaron palabras clave ni se revelaron modelos.
El matemático del MIT Andrew Sutherland dijo: "A menos que publiquen el modelo para que todos puedan reproducirlo, la idea de que un solo agente puede resolver el problema con una sola indicación debería considerarse no probada. Deberíamos exigir ver el 'recibo'".
La implicación es que estos 722 manuscritos son todos "noticias falsas".
El 7 de octubre, la Asociación de Humanidades y Matemáticas mencionada al principio creía que "la publicación de más de 700 documentos al mismo tiempo no muestra algo académico, sino una especie de poder". Posteriormente, la asociación pidió a los matemáticos que dejaran de colaborar con OpenAI.
Por supuesto, hay otra voz. "Si queremos saber las respuestas a estos problemas matemáticos, no veo ninguna razón para pedir a las empresas que las oculten... Eso es algo bueno para las matemáticas", dijo Daniel Litt de la Universidad de Toronto.
Los matemáticos no pueden verificar estos 722 manuscritos en poco tiempo, por lo que esperan verificarlos a través de Lean.
Lean es un "asistente de prueba" y un lenguaje de programación. Los matemáticos necesitan traducir cada paso de la demostración a un lenguaje estricto que Lean pueda entender. Luego, el sistema Lean lo comprueba paso a paso. Mientras un paso sea ambiguo o se omita, fracasará. Una vez aprobada, es casi seguro que la prueba esté lógicamente libre de errores.
Según el catálogo público, de las 372 familias de resultados fusionadas en 722 manuscritos, 235 tienen descripciones formales Lean, lo que representa aproximadamente el 63%.
Pero Lean no es omnipotente. El matemático Gil Kalai dijo que también puede haber problemas con la verificación de Lean. Por ejemplo, al traducir un problema matemático al lenguaje Lean, si hay una desviación en la traducción misma y la verificación automática pasa, es posible que no sea el problema original. Además, Lean sólo puede confirmar que es "lógicamente irrazonable", pero no puede juzgar si el resultado es novedoso o valioso.
Por lo tanto, el manuscrito No. 074, que no está formalizado por Lean, solo puede ser verificado por matemáticos.
Si finalmente se demuestra que el Manuscrito No. 074 es correcto, debe ser un evento histórico en la historia de las matemáticas.
Se necesitaron más de 100 años para hacer avanzar el problema de Kakeya a tres dimensiones, pero la IA dio varios pasos adelante en solo tres horas.
De manera similar, al final se puede descubrir que el Manuscrito No. 074 en realidad es incorrecto.
En última instancia, ¿debería llamarse prueba una "prueba" que los humanos no pueden verificar en un corto período de tiempo? Éste es el verdadero enigma que le queda a la comunidad matemática.
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